В своей книге «За гранью бесконечности» математик Юджиния Ченг исследует явление бесконечности, загадочную концепцию, о которой мы знаем с детства, но едва ли претендуем на то, чтобы понять ее. В книге разобрано много интересных фактов, но мы расскажем вам о пяти наиболее любопытных.
Бесконечность плюс один
Представьте себе бесконечный отель с номерами, пронумерованными 1, 2, 3, 4 и так далее. Допустим, когда в отель въезжает новый гость, то его обязательно должны поселить в первый номер, что не составит никакого труда — просто попросите старых гостей переехать на одну комнату вперед (из первой во вторую, из второй в третью и так далее).
Однако, если новых гостей будет больше одного, то это вызовет бесконечные хлопоты, так как бесконечному количеству гостей придется перемещаться из комнаты в комнату, а после в новую комнату и так далее.
Но если бы нового гостя селили в свободную комнату после последней занятой, то никаких проблем бы не возникло. Простой мысленный эксперимент показывает, что один плюс бесконечность — это не то же самое, что бесконечность плюс один. Это весьма странно, так как все мы привыкли, что 2 + 3 и 3 + 2 — дают один и тот же результат.
Больше бесконечности
Некоторые бесконечности больше других. Натуральные числа дают наименьшие бесконечности, которые, между прочим, тоже различаются между собой. Например, бесконечность из четных чисел (2, 4, 6, 8 и т. д. до бесконечности) будет меньше, чем бесконечность из всех натуральных числе (1, 2, 3, 4, и т. д. до бесконечности), так как в первом случае будет задействовано вдвое меньше чисел.
А вот если мы будем использовать дроби или иррациональные числа вроде числа пи, то получим бесконечности, состоящие из несчетных множеств. Такие бесконечности будут бесконечно больше бесконечностей из натуральных чисел.
Это было доказано математиком Георгом Кантором, который к концу жизни сошел с ума. Надеемся, что бесконечности тут никак не замешаны…
Парадокс Зенона
Древнегреческий философ Зенон Элейский однажды заявил, что при некоторых условиях человеку никогда не удастся пересечь комнату. Допустим, вы начинаете движение из точки A в точку B: сначала вы преодолеваете половину пути, затем половину оставшегося пути, затем половину того, что осталось, затем половину оставшегося… Зенон утверждал, что наши перемещения в пространстве становятся логически невозможными.
Этот парадокс Зенона оставался неразрешенным более 2000 лет, пока не было установлено, что существует планковская длина — минимальное возможное расстояние между точками пространства.
Выходит, что расстояние от точки A до точки B невозможно поделить на бесконечно малые части.
Другой мир
В обычной арифметике, когда вы работаете в вещественными числами, деление любого числа на ноль в результате дает неопределенность, то есть, фактически, лишено смысла. А вот в теории колес — тип алгебры, где операция деления определена всегда — деление на ноль приобретает смысл. В теории колес рассматривается математический мир комплексных чисел, где деление на ноль мы можем интерпретировать как бесконечность.
Это показывает нам, что математика исследует различные возможные миры, в которых отличные друг от друга вещи могут быть истиной (правда не всегда одна).
Если от бесконечности отнять бесконечность, то мы не получим ноль
Сколько будет 2 — 2? Вы знаете ответ: это, конечно же, 0 (ноль)! А как насчет 1567 — 1567? Тоже ноль! Однако с бесконечностью это так не работает, потому что она подчиняется своим собственным правилам.
Давайте рассмотрим это на примере:
бесконечность + 1 = бесконечность
Теперь, исходя из уравнения выше, давайте поработаем с вычитанием бесконечностей:
[бесконечность + 1] — бесконечность = [бесконечность] — бесконечность
Если мы воспользуемся обычными математическими правилами, то ответ будет следующим:
1 = 0 (ой, ошибочка!)
Из этого следует, что бесконечность — бесконечность ≠ ноль.
